Bonjour besoin d'aide pour cet exercice svp (voir photo) Montrer que : Pour tout entier naturel n, il existe deux entiers naturels pn et qn tels que: (2+√3)=Pn+

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Montrer que : Pour tout entier naturel n, il existe deux entiers naturels

[tex]p_n\ et\ q_n\ tels\ que\ :\ (2+\sqrt{3} )^n=p_n+ q_n \sqrt{3} \\[/tex]

[tex](2+\sqrt{3} )^0=1+0*\sqrt{3} :\\p_0=1,\ q_0=0\\\\(2+\sqrt{3} )^1=(p_0+q_0*\sqrt{3} )*(2+1*\sqrt{3} )=2+1*\sqrt{3} :\\p_1=2,\ q_1=1\\\\(2+\sqrt{3} )^2=(p_1+q_1*\sqrt{3} )*(2+\sqrt{3} )=2*p_1+3*q_1*\sqrt{3}\\p_2=7,\ q_2=4\\\\(2+\sqrt{3} )^3=(p_2+q_2*\sqrt{3} )*(2+\sqrt{3} )=(2*p_2+3*q_2)+(p_2+3*q_2)*\sqrt{3} :\\\ p_3=26,\ q_3=15\\...\\Relation\ de\ r\' ecurrence:\\\\\left\{\begin {array}{ccc}p_{n+1}&=&2*p_n+3*q_n\\q_{n+1}&=&p_n+2*q_n\\\end {array} \right.\\[/tex]

Il est très facile de mettre ce système de suites récurrentes en algorithme par itérations.

Plus difficile est de trouver les formules explicites qui nécessitent de passer par la notation matricielle et sa diagonalisation par recherche des valeurs propres et des vecteurs propres.

SI tu désires des explications complémentaires sur cette méthode, demande le moi.