Un point matériel décrit une courbe dont l'équation paramétrique est : [tex]\rho = \frac{1}{2}\rho_0(1+cos(\alpha t)) \ et \ \phi=\alpha t [/tex] déterminer [t

[tex]r=\frac{1}{2}r_0(1+Cos\alpha t),\ \ \phi=\alpha t\\\\\frac{dx}{dt}=v_x=-\frac{1}{2}r_0\alpha(Sin\alpha t+Sin2\alpha t)\\\\\frac{dy}{dt}=v_y=\frac{1}{2}r_0\alpha(Cos\alpha t+Cos2\alpha t)\\\\(\frac{ds}{dt})^2=v^2=\frac{1}{4}r_0^2\alpha^2(2+2Sin\alpha t*Sin2\alpha t+2Cos\alpha t*Cos2\alpha t)\\=\frac{1}{4}r_0^2\alpha^2*2*2Cos^2(\alpha t/2)\\\\\frac{ds}{dt}=v=r_0\alpha Cos(\alpha*t/2)\\\\\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{dv}{dt}=-\frac{1}{2}r_0\alpha^2Sin(\alpha t/2)\\\\[/tex]

Rayon de la Courbe =
[tex]R=| \frac{[(x'(\phi))^2+(y'(\phi))^2]^{3/2}}{x'(\phi)*y"(\phi)-x"(\phi*y'(\phi)} |\\\\x'(\phi)=-\frac{1}{2}r_0(sin\phi+Sin2\phi)\\y'(\phi)=\frac{1}{2}r_0(Cos\phi+Cos2\phi)\\x''(\phi)=-\frac{1}{2}r_0(cos\phi+2Cos2\phi)\\y''(\phi)=-\frac{1}{2}r_0(Sin\phi+2Sin2\phi)\\[/tex]


[tex]R=\frac{r_0}{2}|\frac{[ 1+1+2Sin\phiSin2\phi+2Cos\phiCos2\phi ]^{\frac{3}{2}}}{[(Sin\phi+Sin2\phi)(Sin\phi+2Sin2\phi+(Cos\phi+Cos2\phi)(cos\phi+2Cos2\phi) ]}|\\\\R=\frac{2r_0}{3}Cos(\phi/2)=\frac{2r_0}{3}Cos(\alpha t/2)\\\\[/tex]

[tex]\vec{a}=-\frac{1}{2}r_0\alpha^2Sin(\alpha t/2)\ \vec{u}_{Tangentiale}+\frac{3}{2}r_0\alpha^2Cos(\alpha t/2)\ \vec{u}_{normale}\\[/tex]