soit f la fonction définie sur R par f(x) = g(x² - 1) - g(x) avec g une fonction définie et continue et croissante sur R 1)montrer que l'équation f(x) = 0 admet

Bonjour,

1) Comme:

• g est continue sur IR
• la fonction qui à x associe [tex]x^2-1[/tex] est continue sur IR

f est une fonction continue sur IR car composée et somme de fonctions qui le sont.

[tex]f(0)=g(-1)-g(0)\leq 0[/tex]

car g est une fonction croissante

et

[tex]f(2)=g(3)-g(2)\geq 0[/tex]

pour la même raison

De ce fait, nous pouvons appliquer le TVI et conclure qu'il existe un réel dans [0;2] tel que f(x)=0

2)

Plus généralement, il s'agit de comparer pour x réel

[tex]x^2-1 ~et~x[/tex]

Etudions le trinôme

[tex]x^2-x-1[/tex]

son discriminant est

[tex]\Delta = 1^2+4=5[/tex]

Comme il est strictement positif le trinôme admet deux racines distinctes

[tex]x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\\\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\\\[/tex]

Nous savons du cours que ce trinôme est négatif entre les racines car le coefficient du monome dominant est 1 >0.

De ce fait, pour tout réel compris entre [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]

[tex]x^2-1\leq x \Leftrightarrow g(x^2-1)\leq g(x)\\\\\Leftrightarrow f(x) \leq 0[/tex]

et pour tout réel à l'extérieur des racines donc en particulier pour [tex][2;+\infty[[/tex]

, car [tex]\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} < \dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2[/tex], nous avons

[tex]f(x) \geq 0[/tex]

Et on applique à nouveau le TVI, ce qui termine la démonstration.

3)

La solution n'est pas unique car

• f(x) est positif sur [tex]]-\infty;\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}][/tex]
• f(x) est négatif sur [tex][\dfrac{1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}][/tex]
• f(x) est positif sur [tex][\dfrac{1-\sqrt{5}}{2};+\infty[[/tex]

En fait, il y a deux solutions pour f(x)=0

Exercice intéressant
Merci